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ESTUDIEMOS MATEMÁTICAS

INVITA EL PROFESOR CESAR GÓMEZ MATA

 

 

                                                                                                        

 

 

Antes agradezco la acogida de mi pagina por parte Uds. al tener 129 votos con 10 en la pagina de la Una que es el 61,5 de los votos totales. Lo que ratifica que este esfuerzo no es en vano. Muchas Gracias

Sean Bienvenidos a mi pagina en la guía de matemáticas.

El propósito de esta guía es hacerlos razonar matemáticamente y olvidar ese mito de que esta materia es difícil.

Consta de dos partes Los Ejercicios Resueltos Arranco con uno de Cada año y luego Los raspacocos Variedad de Ejercicios para resolver por el alumno tipo examen. Por supuesto según sus peticiones , pues esta pagina web es de todos ustedes, ire agregando mas sobre un tema o temas específicos: Mi metodología es la misma que hago en mis clases normales.

Para profundizar aun mas en la sección PAA el alumno encontrara ejercicios del tipo de la prueba de aptitud Académica.

Una buena base en matemática se adquiere desde primaria. si el alumno llega con una buena base a Noveno no debe tener problemas en afrontar Física y Química.

Esta base se adquiere con mucha disciplina y practicando todos los días sean de clase o hábiles.

Entiendo la cantidad de materias y trabajos que un alumno debe realizar pero llevar la materia al día es indispensable para salir bien en los exámenes y adquirir esa buena base.

Por otro lado hay 3 libros esenciales y excelentes para esa practica pero comprarlos y no saberlos utilizar es lo mismo, si no sabe como Usarlos?.

Me refiero al Álgebra de Baldor Para Octavo y para los temas esenciales de Noveno y Los Dos Libros DE Hoffmann para 4 y 5to años sea ciencias o humanidades. ¿COMO USARLOS? Todos los 3 libros tienen un mismo estilo un tema, ejercicios resueltos y una variedad de acuerdo a dificultad de cada ejercicio son múltiples los ejercicios para practicar. Simplemente lo que el alumno tiene que hacer es practicar un poco cada DIA a medida que vaya viendo la materia esos ejercicios sea Personalmente o con su tutor o profesor particular, pero si este se los hace y el alumno, no ve los cuadernos o no los repite por el mismo, perdemos todos. El alumno tiene que saber que el que va a presentar es el, tiene que entrenarse igual lo hace su deportista favorito para la practica de su deporte Favorito. Y estas son tres buenas herramientas junto al libro de séptimo recomendado por mi en mi editorial. En resumen es muy fácil:  supóngase el alumno esta viendo ecuaciones de segundo grado, que esta en el álgebra de Baldor, okey esa semana el hará los ejercicios de acuerdo al nivel y volumen de materias dadas por su profesor en clase, el rollo es por ejemplo hay tres casos de ecuaciones de segundo grado mas estas por factorizacion (ver Tips) Si el alumno no se le da toda esa materia quedara un poco fallo, pero en fin debe practicar para adquirir esa base.

Se que el libro de Hoffmann no se consigue en toda Venezuela me refiero al interior, de el alumno quererlo simplemente póngase en contacto conmigo (Ver link mis servicios) y se los haré llegar por cualquier vía como domesa u otra similar.

Animo Pues!! La vida me ha enseñado que en las matemáticas  ES DONDE ESTÁN LOS REALES!!

   Bueno a estudiar:

 

EJERCICIOS RESUELTOS

 

Matemática 7to

 

Problemas de Ecuaciones

1. La edad de Pedro es el doble de la de Julio y 6 años mayor que Alberto. ¿ Cual es la edad de cada uno de ellos?, si la suma de las tres edades es 99 años.

Como decía un ex Amigo mío: LO discutimos, analizamos y después sacamos conclusiones:

Problema de ecuaciones de primer grado que causan muchos dolores de cabezas a los niños al comienzo de su bachillerato. Para mi el mejor método de resolverlo es el siguiente

Poner los nombres de cada uno e identificarlos con el enunciado del problema.

Pedro: 2X Superclaro el enunciado lo dice así

Julio:   X 

Alberto.= Este es el mas difícil pues dice: Que Pedro = 2X tiene 6 años mas que Alberto

En consecuencia al compararlo con Alberto, este tendrá 6 años menos que Pedro. Luego entonces Alberto = 2x - 6 

Planteamos la ecuación: 2x + x + 2x  - 6 =  99 En lenguaje esta ecuación seria: Pedro + Julio + Alberto = 99 De alli la utilidad de nombrar  cada uno con los datos del problema.

Nos da entonces: 5X = 99 + 6 al resolver X = 105/5 recuerden el numero de X o coeficiente pasa dividiendo Obtenemos:  X = 21 pero de Quien esa edad?  Como tengo a cada uno identificado arriba ese es Julio porque? porque Julio = X  y  X = 21.

Deduciendo esto Pedro tendrá 42 y Alberto 42 - 6 = 36.

COMPROBACIÓN SUMO LOS TRES RESULTADOS Y DEBE DAR 99.  21 + 42 + 36 = 99.

 

Matemática 8vo

 

 Ensalada en ecuaciones Ver Baldor:

1. 5(1-X)2  - 6(x2 -3x -7 ) = X (X - 3) - 2x( x + 5) - 2&nnbssssp;

OK ecuaciones de primer grado ya a un nivel de Baldor

Resolvamos por parte un producto notable (1-X)2 resolvemos tenemos y resolvemos las distributiva simples que quedan y eliminando paréntesis recuerden Menos delante de paréntesis todo cambia de signo resultando esto.

5(1 - 2X + x2) - 6x2 + 18X + 42 = x2- 3x -2x2 -10X -2

5 -10x +5 x2 - 6x2 + 18X + 42 = x2- 3x -2x2 - 10X - 2

Todas las X para el Miembro izquierdo y Números al derecho

5 x2 -  x2 + 2x2  - 6x2-10x +10 X + 18X + 3x = - 5 - 42 -2

Como es lógico en este nivel se van las X al cuadrado Resultando:

21 X = - 49 Okey debo simplificar entre 7 para que cuadre con el resultado.

Dándonos X = -49/21 = - 7/3 Nótese que puse en negritas los cambios de signo en las ecuaciones y eliminación de paréntesis reglas que a esta época el alumno debe saber.

Matemática 9°

Sistemas de ecuaciones. He aqui un tema básico para los años posteriores son los sistemas de ecuaciones con 2 incógnitas: Como se sabe hay tres métodos a emplear por considerarlo de poca utilidad practica el de igualación lo tratare muy por encima. Ver baldor Pág. 319 en adelante.

El alumno debe saber que un sistema son 2 ecuaciones de la recta

1   x-1 - y -1 = -13

       2       3       36

     x +1 - y +1 = -2

       3         2        3

  Ya a estas alturas el alumno debe saber que hay que sacar mcm en ambas ecuaciones de sistema pues tienen denominadores ambas.

Tenemos en la ecuación 1: mcm 36

Este método es el infalible para no tener problemas con el menos antes de la fracción  

18(x-1) - 12(y -1) = -13 Todavía no cambia el signo lo hacemos en el próximo paso:

18X - 18 -12Y + 12 = -13

Poniendo en posición de sistema nos queda copio primera ecuación

18x -12 Y = -7 no puedo simplificar 19 no cabe entre 2

La segunda hacemos el mismo proceso el mcm es 6

2(x + 1) - 3(Y +1) = - 4

2x +2 - 3Y - 3 = - 4

Nuestro sistema será

18x -12y = -7   ecuación 1

2x -3Y = - 3              ecuación 2

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Consiste en despejar x o y en cualquiera de las 2 y sustituirla en la otra ecuación como se ve es muy fácil despejar x en la ecuación 2 y obtenemos:

X = 3Y - 3

           2

Sustituyo lo marcado en negritas donde va la x en la ecuación 1 y resulta:

18(3Y - 3)   - 12y = -7 Obteniendo así una ecuación de primer grado vista en 7to grado

           2

Saco Mcm que es 2 y carpintería de 7to

54 y  - 54  -24Y = -14

30Y =  40 simplificando y tachando ceros Y = 4/3

Ahora sustituyo en

X = 3Y - 3    Y por su valor 4/3 donde obtengo

           2

X = 4 - 3/2 El 3 se fue con el 3 que multiplicaba y nos queda 4 recuerda multiplicación es lineal.

X= 1/2

MÉTODO DE REDUCCIÓN:

El mas usado en la practica

tenemos nuestro sistema

 18x -12y = -7  ecuación 1

2x -3Y = - 3       ecuación 2

 Y debe dar los mismos resultados en todos los 3 métodos veamos:.

Tenemos signos iguales en los coeficientes de x  o y vamos a intercambiar en x

 y uno de los 2 coeficientes lo pongo negativo quedándonos

2(  18x -12y = -7  ) y

-18 ( 2x -3Y = - 3  )

dándonos  36 X -24 Y = -14

                   -36 X + 54 Y =  54

 Sumo miembro a miembro dándonos 0X + 30Y = 40

Y obtengo Y = 4/3

Pero aqui para obtener x debo suplantar ese valor de y en la ecuación mas sencilla la 2 quedándonos  2x - 4 = - 3

2x= 1

X= 1/2

 

Mas sistemas: 2 ecuaciones

 

 

Matemática 4to año

Este es el año para mi decisivo pues es para mi el mas fuerte de todos en Física y  esta materia. es el año del tema mas difícil LAS DEMOSTRACIONES que como ya les dije en el libro de Hoffmann es el mejor, pero este tema se basa en la habilidad del alumno y en este tip: Para resolver estos ejercicios el estudiante debe tener en cuenta y dominar estos tres tópicos:

 1 Identidades Trigonometricas entre ellas  cos2X + sen2x = 1

 2 Productos notables

 3 Factorizacion

Voy a explicar 2 ejercicios y verán lo cierto de mi afirmación:

 Demostrar: cos4X - sen4x + 1 = 2 cos2X

OK. Vemos en el miembro de la izquierda un típico caso de factorizacion Suma por su Diferencia. (X + Y)(X -Y) = X2 - Y2; DDDDe donde resulta: (cos2X + sen2x)(cos2X - sen2x) + 1 = 2 cos2X.

Aplicando la identidad trigonometríca   cos2X + sen2x = 1 se nos va el primer paréntesis quedándonos: (cos2X - sen2x) + 1 = 2 cos2X.

Como debo demostrar un coseno empato sen2x = 1 - cos2X  al despejar de la identidad fundamental.  quedándonos: cos2X - (1 - cos2X ) + 1 =  2 cos2X. Puse en negritas pues hay un menos delante de esa expresión y debo eliminar paréntesis pero a algunos alumnos se les olvida.

De donde  al eliminar paréntesis resulta =  cos2X - 1 + cos2X + 1 =  2 cos2X

Se nos van los 1 y al sumar los cosenos nos queda: 2 cos2X = 2 cos2X QUE es lo que queríamos demostrar"

Otra identidad clave es Tan X = sen X/cos X

DEMOSTRAR:

(2 cos2X -1)  sec2X = 1 - tg2222 X

Desarrollando

(2 cos2X -1)  1/cos2X  = 1 - sen2x/cos2X

Eliminando denominadores en ambos miembros pero debemos sacar mínimo en el 2do miembro: quedando: cos2X  - sen2x

                                     cos2x

Es fácil darse cuenta que ambos denominadores son lo mismo y si saco mcm o como se quiera es lo mismo: Total se van los denominadores

Y nos queda: 2 cos2X -1 = cos2X  - sen2x

Aplicando Identidad fundamental en el primer miembro al contrario 1 = .....

2 cos2X -(cos2X + sen2x )) ==== cos2X  - sen2x

Eliminando paréntesis y haciendo la suma de los cosenos nos queda

cos2X  - sen2x = cos2X  - sen2DEMOSTRADO!

 

 

 

Siguiendo con la onda de Trigonometría, permítanme  explicarles algo que muy pocos libros explican, y me baso en la figura arriba mostrada, parte a) comienzo diciéndoles el porque o en que se basa la trigonometría. Tenemos un triangulo rectángulo, imaginemos las 2 líneas del Angulo  juntas formando un Angulo de 0° grados , los remito a la figura parte c) se forma un punto de abscisa X = 1 y Y = 0 de donde (1,0), sin embargo si se sube o se abre el Angulo llegaremos a la situación de la figura a) correspondiente a un Angulo de 33° 31' Punto ( 0,83, 0, 55), nótese que en el famoso circulo trigonométrico el radio o hipotenusa es 1, Esto quiere decir que en la medida se mueva esa hipotenusa se ira cambiando de punto en punto, los grados aumentaran hasta llegar a 90° en el I Cuadrante de ordenada (SENO), y Abscisa (COSENO) POSITIVAS, Entendiéndose el porque de los signos de cada cuadrante en las funciones seno y coseno recuerde, no olvide esto: ordenada (SENO), y Abscisa (COSENO). Profundizando mas: el Angulo de 45° divide el primer cuadrante exactamente es por eso que su abscisa es 0,707 y su ordenada 0,707 o sea raíz de 2 sobre 2, el de 30 tendrá (0,86, 0,5) y el de 60 al contrario (0,5, 0,86).

Tomando en cuenta lo destacado en negritas tenemos que al llegar el Angulo a ser de 90° ya tenemos la situación de la figura c) el punto es ahora (0,1) o sea Y Seno y X Coseno como dije anteriormente.  El seno será de 1 y el coseno 0            

Ahora que pasa cuando pasamos la línea mas allá de 90°, o dicho de otra forma: cuando formamos un Angulo de mas de 90 ° (Obtuso) llegando al Segundo cuadrante? Caemos en la situación B donde tenemos el punto ( -0,70, 0,70 ) que corresponde a un Angulo de 180 - 45 = 135°. Como se sabe en este cuadrante la abscisa X es negativa (-) y la ordenada (Y) es positiva, de acuerdo a lo anterior:  Ordenada (SENO), y Abscisa (COSENO). Profundizando aun mas: Cuando llega a formar un Angulo llano de 180 ° vease en C el coseno será de -1 y el seno 0. Es por eso que al completar un giro o una vuelta al circulo, tenemos coseno de 360 = 1 positivo y seno de 360 = 0 

Esto indica  tambien el porque de los ángulos mayores de 360, sabemos dividimos entre 360 el cociente nos da el numero de vueltas y el resto el Angulo equivalente 

Es por esto tambien que cuando descomponemos vectores en componentes X y Y tenemos: que en la mayoría de los casos, la componente X o abscisa se calcula con el coseno mientras la componente Y u ordenada con el seno. Esto de gran utilidad en física.

 

 

 

Matemática 5to año  

 

Método de Ruffini: Gracias a este método yo puedo factorizar, hallar raíces, simplificar fracciones algebraicas etc. Pero me encuentro que los estudiantes les cuesta mucho hallar las raíces, como es sabido, son los divisores de el termino independiente del polinomio. Veamos:   

2x3 + 3x2 -18x + 8, Tenemos aqui que hallar como a >1 los divisores de 2 tambien. Los de 8 serán: +- 1 +- 2 +-4 +-8 y 1/2; 1/4  1/8  pero las fracciones pueden dar después: Se debe tomar +-1 para iniciar el calculo o tanteo y luego seguir de menor a mayor, los mayores sobre todo el mismo  8 en este caso tienen muy poco chance de ser: entonces vemos que cabe el -2 y nos queda 2  3 -18  8

  2       4  14  -8

    ---------------------

        2  7  -4   0

  -4      -8   4

   ____________

           2  -1  0

    1/2       1

  ___________

           2   0

 Como ven hemos dejado la fracción para el ultimo calculo, a su vez el estudiante debe tener presente que cuando una posible raíz por Ej. 1 no cabe en el primer intento queda descartado y que al yo sustituir X por 2 -4 y 1/2 en el polinomio de arriba nos dará 0 y son 3 raíces pues el polinomio es de grado 3. Si nos mandasen a factorizar cambiamos el signo a la raíz quedando

(X -2)(X + 4)(x - 1/2). Y no olviden si al polinomio le falta un termino tienes que poner 0. Ej: x2 +1 seria 1  0  1 Falta la X  

 

LOS RASPACOCOS

OKey aquí están los  "Raspa cocos"  que deben hacerlos Uds. y me mandan su solución y PREGUNTAS si no puede resolver algún ejercicio  al correo cesarwebsite@intercable.net.ve y con gusto les diré si son correctas o no.    

1. Demostrar que. Para resolver este ejercicio y el siguiente vea formula en Baldor Álgebra Págs. 487 a 489

2. Al dominar ese ejercicio podrás hacer este: =

3. La suma de 4 enteros consecutivos es 2 Hallar el menor y el mayor de esos 4 números?

4.      (x + 1)3 - (x - 1)3  = 6x ( x - 3)

5.      (x - 2)2 - (3 - X)2 = 1   

6.    -5(x + 3)2 +5(x-2)2>>> -(2x + 3)2 -(5x + 2) - 10 X2 = 0

7. La suma de 5 números impares consecutivos es 65. Hallarlos

8.   (1 - Tg X)2 + (1 - Ctg X )2 = (sec X - Cscc XXXX)2

     (ctg  x + Cos x)   = Ctg x Cos X 

           tgX + sec x

10   tg x - sen x  =   tg x sen X

        tg x sen X        TgX + Sen X

11   Sen X( sec x + csc x) -cosX ( sec X -csc X) = sec X csc X

Sistemas:

12  12- 3x -2y = 3y + 2

                 6

       5y - 3x = ¨3[x -Y)

 

13.   Y (x -4 ) = X ( Y - 6)

         5        - 11      = 0

         x - 3      y -1

 

14.    2X + 1 - 5(y - 2)  = - 3/4

                3           4

         3(x2 + 5) + 3(1-x2+ 9 = 3(x2 -x )

                2              2                        2

 

15.   5(x - Y) - x + y  = 8

                           6

          6X - 3(x - Y)  - 37 = X - Y

                        2

16.   X + Y + X - Y  = 18

           7            5         35

        

       X + Y   -  X - Y  = 23

           3             4        12

 

17.           X + Y + Y - X  =  7

                    9          6         3

                8(Y - X) + Y     = 0

                     4           2

 

18.      x + 1 - Y - 3 = 1

               3          2      6

           3(Y-2) - 6X + 3  = - 3X - Y

               2            6                3

 

19. Algunos de Ruffini.

Resolver las siguientes ecuaciones:

  6x6 - 35x5  +56 x4 -56 x2 +35 x - 6 = 0  

20. 2x8 + 7 x7 - 43 x6 +14 x5 -41 x4 +14 x3 - 43x2 +7x +2 = 0  p;

21. 120x5 +154 x4 + 71 x3 +14 x2  + x = 0 

22.  Factorizar: 2x4 + 6x3 -56 x2

23. 9x4 +9x3 +17 x2 - x - 2  

 

20. Combinatoria

Con los números 1,2, 3, 4, 5, 6, y 7, y sin repetir ninguno

a) Cuantos números mayores de 50000 pueden formarse?

b) Cuantos números distintos pueden formarse

c) Cuantos números pares?

 

2 Verdaderos Rompecocos

21.  Una cuadrilla de 15 Obreros y trabajando 10 horas diarias fue contratada para terminar una obra en 30 días. Luego de 8 días de trabajo se acordó que la obra fuese terminada en 12 días antes del plazo establecido. ¿Cuantos obreros mas debieron emplearse, si se aumento en una hora mas la jornada de trabajo? Respuesta: 15 Hombre mas

22. Repartir 3210 Bs entre Pedro, Saturnino, Tarsicio y Carlitos, de manera que Pedro reciba los 2/3 de la parte de Saturnino; a este los 4/6 de la de Tarsicio, y a este, los 14/18 de Carlitos.

 

p style="margin-top: 0; margin-bottom: 0">23. Resolver esta ecuacion:

x2 - 7x +12   = 3x -12

x2 + 3x -10      ; 4444x +20

24. Dos números están en la relación de 9 a 2; si sumamos 14 al menor el resultado es igual al mayor. Hallar los números

25. Dos números están en la relación de 3 a 1; si su suma es a su diferencia como 2 es a 1. Hallar los números

26. Dos números están en la relación de 5 a 4; si restamos 4 a ambos están en la relación 3 a 2  Hallar los números

27. Resolver si se puede los siguientes sistemas:

2a -2b - c = 170   

3/a = 7/b = 2/c

28.   4x -3y - z = 52

 x/7 = y/5 = z/9 

Mas Problemas de  Sistemas de Ecuaciones

 

29. Armando recibe de su padre una cantidad de dinero por cada problema de aritmética que resuelva, pero ha de pagar la misma cantidad por cada uno que no resuelva. lo mismo ocurre con los problemas de geometría, pero la cantidad es distinta a la del caso anterior.

una vez, de 10 problemas de cada clase resuelve 6 problemas de geometría y 7 de aritmética y recibe 14 bolívares. Una segunda vez, de 12 problemas de cada clase resuelve 4 de geometría y 8 de aritmética y ha de pagar 4 bolívares. en cuanto esta valorado cada tipo de problema?

30. La edad de un padre es doble que la del hijo. Hace 18 años era 5 veces la del hijo. a) cuando tenia el padre la edad que ahora tiene el hijo? b) Cuando las edades de ambos estaban en la relación  de 3 a 5 ?

31. Se reparte una cantidad entre varios pobres. si fueran 12 menos, le corresponderían a cada uno 1 Bs. Cuantos pobres eran y cuanto le correspondió a cada uno?

32.  Un estanque tiene 3 grifos. si están abiertos los 2 primeros llenan el estanque en 1 hora, 20 minutos; si están abiertos el segundo y el tercero, en 1 hora y 36 minutos, y si están abiertos el primero y el tercero, en 2 horas, 40 minutos. En cuanto tiempo llenaría cada uno el estanque por separado? Nota: ( Es un sistema de 3 ecuaciones 3 incógnitas)

33. Calcular los valores de 2 números sabiendo que si dividimos el primero por el segundo  el cociente es 1 y el residuo es 6 y que si dividimos el segundo por el primero el cociente es 0,6 y el residuo 0,8

34. Repartir 210 en cuatro partes de manera que la mitad de la primera, la tercera parte de la segunda, la cuarta parte de la tercera y la quinta parte de la cuarta sean iguales.

35. Un comerciante puede dar 5 cuadernos y 8 revistas, o bien 8 cuadernos y 6 revistas por 34 Bs. Hallese el precio de cada revista y cada cuaderno.

36. El doble de la edad de Antonio excede en 50 a la edad de Pedro y 1/4 de la edad de este es 35 años menos que la edad de aquel. Cuantos años tiene cada uno?

37. Se tienen 56,50 Bs. en 152 monedas; reales y medios. Cuantos reales y cuantos medios abr?

38. Una barra de oro y zinc pesa 2640 gramos . cual es el peso del oro y de la plata, si el precio de la plata contenida en la barra es igual que el del oro y a pesos iguales el oro vale 31 veces mas que la plata?

39. La cifra de las decenas de un numero es 2/3 de la cifra de las unidades, y el numero leído al revés excede en 18 al numero primitivo. Cual es el numero?

40. El perímetro de una sala rectangular es 56 m. Si el largo se disminuye en 2 m y el ancho se aumenta en 2 m, la sala se hace cuadrada. halla las dimensiones de la sala.  

                                   

                                             SISTEMAS 3 incognitas 5To Año

 

40) 5x + 3y -2z = 15/2

       2x - y + 4u = 3

       x + z - 3u = 7

       2y - 3z + u = -19/2

 

41) 3/x - y + 6/z = 5

      -3/x +2y - 3 /z = 1

       9/x -5y + 9/z = -1

 

42)  4x + 2y + 3z = 29

        y - 12 x  - 12 z + 6 = - 48

        2z - y - 2x =  - 4

 

 43) X/3 + y + 2z/3 - 11/3 = 0

       x +2y/3 + z/3 -11/3 = 0

      2x/3 + y/3 + z -14/3 = 0

 

44)  3(x + y)  + 2 (x + z)  - 3 (y - z) = 8

        2(y - z) - 5(z - x) +60 = y + z

        5x + 8y = 14,4 - 7z

  

45)  x/2 = y = z/6

      3x +5y + z = 34

 

Mas sistemas: 2 ecuaciones

46)               Demostrar que 1/x - y + 1 /x + y = 7/12

                                        1/x -y - 1/ x + y = 5/12   Que este sistema tiene solucion y X = 7 y Y = 5

47) 2x + 5/ 17 - (5 -S ) = 60

       s + 62/2 - (1 - x) = 40

48) X - Y = 1

       x + 1 - x -1   = 6

        y - 1       y         y

  49) 8m - 7n = 52/3

       m = 3n - 2/3

50)  x + y = - 5 ( x -y)

       15x - 4y  - 6x +3 = - 3x - y +     3

            6              6             3                2

 

Ecuaciones de Segundo Grado Problemas

Se denomina ecuación de segundo grado, en  x ,  a toda ecuación del tipo:

a x 2  +  b x  +  c   =   0   ;         a   ¹   0

  Sus raíces o soluciones se obtienen aplicando la fórmula:

  b 2  –  4 a c  es denominado discriminante de la ecuación.  

Ejemplo:  Resuelve la siguiente ecuación:  3 x 2  +  5 x  -  2   =   0

  A veces también es posible resolver la ecuación de segundo grado, factorizando:

Ejemplo:  Resuelve las siguientes ecuaciones:  1 )  2 x 2  -  8 x   =  0

2 x ( x  -  4 )   =   0

2 x   =   0     Þ     x 1   =   0

x  -  4   =   0     Þ     x 2   =   4

2 )  x 2  -  3 x  -  28   =   0

 ( x  -  7 ) ( x  +  4 )   =  x  -  7   =   0     Þ     x 1   =   7

x  +  4   =   0     Þ     x 2   =   -

Se denomina ecuación de segundo grado, en  x ,  a toda ecuación del tipo:

a x 2  +  b x  +  c   =   0   ;         a   ¹   0

  Sus raíces o soluciones se obtienen aplicando la fórmula:

  b 2  –  4 a c  es denominado discriminante de la ecuación.  

Ejemplo:  Resuelve la siguiente ecuación:  3 x 2  +  5 x  -  2   =   0

  A veces también es posible resolver la ecuación de segundo grado, factorizando:

Ejemplo:  Resuelve las siguientes ecuaciones:  1 )  2 x 2  -  8 x   =  0

2 x ( x  -  4 )   =   0

2 x   =   0     Þ     x 1   =   0

x  -  4   =   0     Þ     x 2   =   4

2 )  x 2  -  3 x  -  28   =   0

 ( x  -  7 ) ( x  +  4 )   =  x  -  7   =   0     Þ     x 1   =   7

x  +  4   =   0     Þ     x 2   =   - 4

 

51) Halla 2 números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triple del menor.

52) Se vende un reloj en 75 $ ganando un % sobre el costo igual al numero de dólares que costo el reloj Cuanto costo el reloj?

53) Entre cierto numero de personas compran un auto que vale 1200 $. El dinero que paga cada persona excede en 194 al numero de personas. Cuantas personas compraron el auto?

54) Por 200 dólares compre un cierto numero de libro. si cada libro me hubiera costado 10 dólares menos, el precio de cada libro hubiera sido igual al numero de libros que compre. Cuantos libros compre?

55) Un tren ha recorrido 200 Km. en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia en 1 hora menos, la velocidad debía haber sido 10 Km. por hora mas. Hallar la velocidad del tren.

56) Los gastos de una excursión son 90 $. Si 3 de ellas no van, cada una de las restantes tendría que pagar 1 $ mas Cuantas personas van en la excursión?

 57) halla 3 números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor es igual a los 3/10 del numero intermedio.  

 

Ecuaciones de Segundo Grado . Resolver

  58)   2x - 3 = x - 2

         x - 3       x -1                             

59) 2x -3 -  x2 + 1  = -7

                     x -2

60)  x -1 + x + 1 = 2x +9

        x + 1  x - 1       x + 3

61)  x +4 - x + 2 =   1

       x + 5   x + 3    24

62)(X + 2)2 ( x + 2 ) 2 - 2x -5/3 = 3   

63) (x - 2)3 - ( x - 3) 3 = 37

64)  (x + 2)3 - ( x - 1) 3 = X(3x  + 4) + 8

65)  ( x + 2 ) 2   - ( 3x +5 ) (2x - 1) = 20 x (x-2) + 27

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